DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE LOCALE CU AJUTORUL PENDULULUI MATEMATIC

I. Introducere teoretică

Pendulul matematic este un corp idealizat, format dintr-un punct material de masă m suspendat de un fir uşor extensibil, deplasat din poziţia de echilibru cu unghiul  şi lăsat liber, pendulul va oscila într-un plan vertical sub acţiunea gravitaţiei.
Greutatea G se poate descompune după două direcţii: în lungul firului Gn şi tangentă la traiectorie Gt.
Componenta Gn este compensată de tensiunea din fir T, iar componenta Gt este forţa cvasielastică care caută să aducă pendulul în poziţia de echilibru stabil producând oscilaţiile pendulului, fiind singura forţă care produce mişcarea.
(1)
Conform legii a doua a dinamicii:
(2)
unde at este acceleraţia tangenţială iar  este acceleraţia unghiulară. Rezultă:
(3)
(4)
Introducând notaţia: se obţine:
(5)
care reprezintă ecuaţia diferenţială a mişcării pendulului matematic.
În cazul oscilaţiilor de mică amplitudine unghiulară (0<5o), se poate face aproximaţia sin, iar ecuaţia devine:
(6)
Această ecuaţie, de aceeaşi formă cu a unui oscilator armonic, are soluţia de forma:
(7)
unde m este amplitudinea unghiulară,  este pulsaţia oscilaţiilor unghiulare, iar  este faza la momentul iniţial.
Relaţia (7) arată că elongaţia unghiulară este o funcţie periodică cu perioada:
(8)
Cu ajutorul relaţiei (8) se poate determina experimental acceleraţia gravitaţională în locul de observaţie:
(9)
II. Descrierea aparaturii

Pendulul matematic este format dintr-o bilă grea (fier sau plumb) de rază r, fixată la capătul unui fir subţire de oţel de lungime l, a cărui masă este neglijabilă în raport cu masa pendulului (bilei). Celălalt capăt al firului este legat de o consolă orizontală, fixată în perete.
Pentru măsurarea lungimii se foloseşte o ruletă, iar perioada pendulului se determină cu un cronometru.

III. Procedeu experimental

1. Se măsoară lungimea firului l1 şi diametrul sferei d, lungimea pendulului fiind
.
2. Se repetă măsurătorile de mai multe ori şi se face media pentru lungimea pendulului l.
3. Se scoate pendulul din poziţia de echilibru astfel încât amplitudinea unghiulară să fie 5o, iar oscilaţiile să fie coplanare într-un plan vertical.
4. Se măsoară timpul t corespunzător la n=100 oscilaţii complete şi se determină perioada pendulului .
5. Se repetă măsurarea de mai multe ori şi se calculează valoarea medie a perioadei.
6. Se calculează acceleraţia gravitaţională locală cu ajutorul relaţiei (9).
7. Se calculează eroarea relativă maximă cu relaţia:
(10)
- unde l şi T reprezintă erorile absolute maxime efectuate la măsurarea lungimii, respectiv a timpului şi care sunt egale cu preciziile instrumentelor folosite.
8. Se calculează eroarea absolută maximă cu relaţia:
(11)
9. Se trec datele în tabelul de mai jos care reprezintă rezultatele experimentale.

IV. Rezultate experimentale

Nr. Exp. l1(m) d(m) l(m) lm(m) n(-) t(s) T(s) Tm(s) l/T2 g( )
gm( )

( )
( )
(%)

1. 1,680 0,36 1,860 1,856 10 27,71 2,771 2,732 0,2532 9,988 9,8948 0,0932 0,099 10
2. 1,674 0,36 1,854 1,856 10 27,10 2,710 2,732 0,2521 9,948 9,8948 0,0532 0,099 10
3. 1,681 0,36 1,861 1,856 10 27,33 2,733 2,732 0,2491 9,830 9,8948 0,0648 0,099 10
4. 1,670 0,36 1,850 1,856 10 27,40 2,740 2,732 0,2460 9,712 9,8948 0,1828 0,099 10
5. 1,677 0,36 1,857 1,856 10 27,08 2,708 2,732 0,2532 9,996 9,8948 0,1012 0,099 10

, .


Biblografie: Facultatea de politehnica din cadrul Univesitatii” George Baritiu „ BRASOV