LEGEA LUI ERLANG

INTRODUCERE
Intensitatea traficului se măsoară în Erlang (E) şi cantitatea traficului în Erlang x oră (E x h), unităţi respectiv care seamănă cu Kw şi Kw x h care măsoară puterea şi energia în reţelele electrice. Un organ al reţelei suportă o intensitate a traficului constantă de 1 Erlang şi se scurge 1 Erlang x oră dacă el este ocupat fără a fi discontinuu în timp de o oră; dacă el este ocupat într-o perioadă T a timpului în cursul acestei ore, se scurge T Erlang x oră şi intensitatea medie a traficului este de T Erlang. Această intensitate medie rezultă din conjugarea a doi parametri a cărui produs matematic este: pe de o parte, numărul de chemări sau solicitaţiile, organului considerat pe o unitate de timp; pe de altă parte, durata medie a unei chemări.
Definiţia precedentă a traficului se aplică destul de bine la o linie de abonat cât şi la toate elementele reţelei, în transmisiune, în comutaţie; se vorbeşte astfel de traficul tratat de organele înregistrării a unui comutator, ori a celui transportat de un fascicol a circuitelor. În calitate de puncte de reper, o linie residenţială permite trecerea în jurul a 20mE pe oră încărcată, o linie puţin profesională, 80mE, şi o linie mai profesională, 300mE; media pe linie într-o oră încărcată se stabileşte la 50mE. Un comutator mare de abonaţi este capabil să trateze 3000E, şi un centru de tranzit, 10000E.
Traficul măsurat în Erlang apare ca o mărime aleatoare atunci când se plasează la nivelul unei surse de trafic izolată, de exemplu un abonat, dar el prezintă regularităţi statistice când se consideră la un nivel mai agreabil. Se poate astfel de pus în evidenţă profiluri – tipuri de variaţii: profiluri anuale, lunile iunie, iulie şi decembrie, fiind cele mai încărcate, săptămânale, sfârşiturile săptămânilor fiind cele mai libere şi zilnice, cu zilele lucrătoare, două platouri de trafic profesional, dimineaţa şi după masă, şi o intensitate culminantă a traficului residenţial seara (figura 1).













Ţinând cont de aceste variaţii, un protocol de măsuri este necesar cu scopul de a determina o valoare reprezentativă a traficului, care poate servi la dimensionarea reţelei: această valoare care corespunde unui compromis dintre costul şi calitatea serviciului, revine ignorării fracţiunii egală cu 5% a zilelor cele mai încărcate a anului, ca şi punctele instantanee în interiorul orei încărcate.
Reţeaua telefonică nu este dimensionată după un model ca toţi utilizatorii să o poată utiliza cu eficacitate, dar probabilitatea blocajului unui apel în ora cea mai încărcată nu întrece un prag acceptabil, de exemplu 1%.
Trecerea traficului prin reţea este caracterizată de o relaţie care există între următoarele trei variabile: pe de o parte fluiditatea traficului măsurată prin preţul curent al blocajului comunicaţiilor; pe de altă parte dimensionarea echipamentelor definite prin numărul şi prin dimensiunea organelor fiecărui tip, şi în sfârşit, intensitatea traficului oferit reţelei, trafic care trebuie să fie deosebit de acel care este transmis efectiv, apoi blocajul unei părţi a comunicaţiilor datorită indisponibilităţii unor oarecare organe. Forma acestei relaţii depinde de natura traficului şi de forma în care el este administrat de către reţea.
În cazul în care apelurile blocate sunt respinse, şi nu sunt acumulate într-un şir de aşteptări când sosirile apelurilor se supun unui proces aleator fără memorie, un proces Poisson, şi când durata apelurilor urmăreşte o lege de repartiţie exponenţială, preţul blocajului, şi deci a pierderii b, este unit numărului de organe prin formula următoare, numită formula Erlang a apelurilor pierdute:
1
Această formulă, pe care o vom demonstra în continuare posedă câteva proprietăţi remarcabile, care constituie baza economiei traficului (figura 2).

























1. LEGEA LUI ERLANG
Fie b(N,T) preţul blocajului observat pe un grup din N organe a reţelei cărui îi este asociat un trafic intrând T, exprimat în erlangi. Fiecare din aceste organe, trece prin simetrie, aceiaşi cotă parte a traficului intrat, neblocat:
1.1
Luând în consideraţie ipoteza regularităţii statistice tradusă de caracterul poissonian a traficului, această ultimă cantitate nu este decât probabilitatea a N organe ocupate. Probabilitatea de a găsi cele N organe ocupate în acelaşi timp, fie b(N,T), este egală cu aceea de a găsi primele N-1ocupate, fie b(N-1,T), să înmulţească ceea de a găsi N-emele în aceiaşi stare:
1.2
În final deci, se obţine următoarea relaţie recurentă:
1.3
de unde se extrage succesiv:
1.4
Însumând egalităţile precedente, scrise de la rangul 1 spre rangul N, şi ţinând cont de aceea că b(0,T) = 1, se obţine:
1.5
Rearanjând termenii, se obţine formula Erlang:
1.6
Formula lui Erlang implică economii în proporţii mari a calităţii serviciului furnizat (figura 3).
În consecinţă, după relaţia recurentă (1.3) şi judecând că preţul de blocaj b este constant, fie b(N,T) = b, randamentul mediu pe organ verifică relaţia:
1.7
Fiindcă preţul blocării diminuează traficului fixat când dimensionarea creşte, raţia membrului al doilea este totdeauna inferioară unităţii; ea tinde spre 1 când N tinde la infinit; la altă extremă, pentru N = 1 şi b(1,T) = b fixat, această raţie ia valoarea:
1.8
vecină cu zero dacă preţul blocajului impus este mic. Ea rezultă apoi din (1.7) ca randamentul mediu T/N a calităţii b fixate să sporească când N se măreşte; pornind de la valoarea , apropiată de zero, ea tinde spre valoarea limită , apropiată de unitate; un calcul numeric arată că această valoare limită este practic atinsă de









Invers, în traficul cerut fixat sunt economii de calitate (figura 4).












Notând
1.9
relaţia recurentă (1.3) care produce b(N,T) poate fi în concluzie rescrisă sub forma:
1.10
Aşadar, media a N numere pozitive , pentru M variante de la 1 la N, fiind o funcţie crescătoare de N, şi funcţia b(N-1,T) fiind descrescătoare după N, al doilea membru al egalităţii (1.10) este produsul a două funcţii descrescătoare de N, de unde descreşterea lui după N la T fixat: a reduce preţul de blocaj a traficului desaturând echipamentul este în consecinţă o operaţie a randamentelor descrescânde.


















2. OPTIMIZAREA REŢELEI TELEFONICE
Două tehnici de transmisiune şi de comutaţie cooperează în organizarea reţelei: introducerea comutatoarelor de tranzit în reţea are drept scop economisirea mijloacelor de transmisiune. Organizarea ierarhică a reţelei telefonice în mai multe niveluri permite în consecinţă de a reduce nevoile în arcul de transmisiune prin raportul unei configuraţii unde toate comutatoarele de clasa a treia ar fi unite două câte două fără trepte intermediare de comutaţie de tranzit: numărul rangurilor în ierarhia comutatoarelor satisface astfel unui compromis sigur între costurile de transmisiune şi costurile de comutaţie.
Imaginea după care prezenţa punctelor intermediare de comutaţie în reţea, ar trebui să fie însoţită de absenţa legăturilor de transmisiune transversale este uneori prea grosolană; optimizarea este în consecinţă mai complexă şi nu conduce la eliminarea legăturilor directe între elementele de jos a ierarhiei. Judecata constă în faptul că comutaţia de tranzit este costisitoare şi că rutele de tranzit sunt mai lungi decât rutele directe. Astfel poate fi avantajos, de a transmite traficul cerut între două comutatoare de abonaţi A şi B comandate de acelaşi centru de tranzit C, de a împărţi resursele de transmisiune între calea directă AB, care vor fi împrumutate în prima calitate, şi calea de tranzit ACB, pe care traficul va năvăli în a doua calitate. Să arătăm aceasta prin calcule.
Fie o reţea limitată de trei comutatoare A, B, C, comutatorul C este unicul care poate asigura un tranzit (figura 5).
Fig. 5 Năvălirea unui fascicol de circuite.

Fie T1 traficul cerut între A şi B, T2 între A şi C, T3 între C şi B. Traficul T1 poate fi împărţit între drumul de prima calitate, fie AB, şi drumul de calitatea a doua, fie ACB, în timp ce T2 şi T3 nu pot fi îndreptate decât direct, pe sectoarele AC şi CB respectiv.
Fie c1, respectiv c2 ori c3, costul unui circuit de tipul AB, respectiv AC sau CB. Fie F costul fix a fascicolului AB şi fie d (d = 1 sau d = 0) variabilă binară reprezentând decizia de a deschide sau nu acest fascicol. Fie  costul de comutaţie în C de un Erlang de tranzit. Fie b0 cererea de calitate a serviciului, altfel spus preţul blocajului maximal tolerat pe un drum de ultimă calitate. Fie b(N,T) funcţia lui Erlang, exprimând preţul de blocaj b pe un fascicol oarecare, în funcţie de numărul de circuite N a acestui fascicol şi a traficului T care l-a “oferit”; fie N(T,b) mutuala acestei funcţii în trafic fixat. Ţinând cont de revărsarea traficului T1, costul global de transmisiune şi de comutaţie de tranzit, cu excepţia comutaţiilor de abonaţi se scrie:
2.1
Expresia (2.1) nu este de fapt decât aproximaţia prin valori inferioare a costului real, pentru că traficul revărsării nefiind poissonian (apeluri în mănunchiuri), numărul de circuite necesare pentru transmiterea traficului
2.2
cu calitatea b0, este superior lui N(T,b0).
Admiţând, ca traficul de revărsare să fie slab faţă-n-faţă traficului direct pe arcurile AC şi CB, diferenţiem ecuaţia (2.1). Notând:
2.3
costul traficului T1, pe de asupra costului traficurilor T2 şi T3, şi
2.4
costul marginal de transmisiune a unui Erlang de tranzit, se obţine:
2.5
Să analizăm două cazuri.
Presupunem de la început luarea deciziei d = 1, de a deschide fascicolul direct AB, şi fie:
2.6
diminuarea marginală a preţului de blocaj când numărul de circuite creşte cu o unitate. Dimensionarea fascicolului AB trebuie să fie urmărită în timp ce se micşorează costul CI1 dat de (2.5), altfel spus pînă ce N1 atinge cea mai mare valoare întreagă aşa ca:
2.7
Dincolo de (figura 6), ar deveni în consecinţă mai costisitor de a instala un circuit suplimentar pe fascicolul direct ca să transmită în tranzit traficul corespondent. Este vorba de un minimum a lui CI1, pentru că reducerea marginală a preţului de blocaj descreşte în funcţie de dimensionarea N1, cum s-a demonstrat mai sus.










Examinăm acum decizia deschiderii d = 1; aceasta nu este oportună în caz că ea produce un cost inferior celui corespunzător, deciziei alternative d = 0, decizia constând în transmiterea în tranzit a totalităţii traficului T1. Acesta este cazul dacă:
2.8
altfel spus dacă costul de instalare a capacităţii optimale este inferior costului de îndrumare în tranzit a traficului, această capacitate permite trecerea. Se vede în figura 6 că criteriul (2.8) este satisfăcut dacă costul fix F este inferior măsurii ariei haşurate.
Când traficul T1 este suficient de ridicat, pentru ca să fie avantajos de a deschide fascicolul AB, calculul efectuat mai sus se reduce la un raţionament marginalist simplu.























CONCLUZII: În această lucrare, s-a furnizat mai întâi o demonstraţie rapidă a legii de trecere a traficului telefonic, numită legea lui Erlang – B, valabilă când procesele de sosire a apelurilor sunt poissoniene şi că apelurile blocate sunt respinse (anulate), şi nu sunt stocate într-un şir de aşteptări. Am analizat de asemenea principalele proprietăţi a legii Erlang în termenii randamentelor de scară. Am aplicat aceste rezultate la studiul dimensionării optimale a unui fascicol direct de circuite între două comutatoare, cu mod de transport de năvălire în tranzit.