Experimentul Stern – Gerlach

Devierea unui fascicul de atomi printr-un câmp magnetic variabil.
Dispozitivul experimental constă într-o sursă de atomi de argint în stare fundamentală, un sistem electromagnetic ce creează un câmp magnetic puternic variabil, şi un ecran sensibil, pe care se înregistrează incidenţele atomilor de argint .
Se poate observa, în urma experimentului, că fasciculul de particule nu rămâne coerent, ci se scindează în două subfascicule. Problema nu a putut fi explicată prin teoria clasică, ci au trebuit introduse noţiuni noi, cum ar fi spinul electronic, momentul magnetic de spin, interacţiunea spin-orbită. În cele ce urmează este prezentată explicaţia acestui fenomen şi un calcul teoretic al devierii pe verticală a fasciculului.
Considerente teoretice.
Momentul cinetic în mecanica cuantică.
Corectarea cuantificării date de Niels Bohr momentului cinetic, , a fost adusă mai târziu, fundamentată de Schrödinger şi Heisenberg. Cuantificarea oricărui moment cinetic din mecanica cuantică se face după o regulă simplă: , unde l este numărul cuantic corespunzător.
Încă o regulă dată de mecanica cuantică este cea a cuantificării unui moment cinetic rezultant. Dacă avem două momente cinetice şi , care se cuantifică după regulile , respectiv , atunci momentul cinetic rezultant, se cuantifică după regula , unde .
Momentul cinetic orbital, numărul cuantic orbital, momentul magnetic orbital, numărul cuantic magnetic.
Momentul cinetic orbital se cuantifică după regula cunoscută, , unde . De asemenea, se cuantifică şi proiecţia acestui moment cinetic pe o axă preferenţială (de exemplu – a unui câmp magnetic), prin formula , unde ml este numărul cuantic magnetic, .
Corespunzător momentului cinetic orbital este un moment magnetic orbital, dat de formula binecunoscută, . Dacă introducem atomul într-un câmp magnetic va apărea o energie de interacţiune magnetică, dată de formula . Dar , şi avem , unde se numeşte magneton Bohr.
Momentul cinetic de spin, numărul cuantic de spin, momentul magnetic de spin, numărul cuantic magnetic de spin.
Spinul electronic a fost introdus fără suport intuitiv, pentru că s-a demonstrat că electronul nu poate avea o mişcare efectivă de rotaţie în jurul axei proprii. Spinul electronic trebuie privit ca o proprietate intrinsecă a electronului, ca şi momentul cinetic (se observă din cuantificare că momentul cinetic poate fi şi nul, ceea ce contrazice firescul).
Momentul cinetic de spin se cuantifică identic cu celelalte momente cinetice: . În cuantificare, s este numărul cuantic de spin. S-a arătat că acesta nu poate lua decât valoarea . De asemenea, proiecţia acestui moment cinetic pe o axă preferenţială se cuantifică: , unde ms se numeşte număr cuantic magnetic de spin şi ia două valori: .
Corespunzător momentului cinetic de spin apare un moment magnetic de spin. Apare însă o anomalie faţă de momentul magnetic orbital, factorul de proporţionalitate se schimbă: , nu cum ne-am fi aşteptat. Proiecţia momentului magnetic de spin pe o direcţie preferenţială se cuantifică de asemenea: .
Interacţiunea spin-orbită. Momentul cinetic total. Momentul magnetic total. Momentul magnetic efectiv.
S-a introdus interacţiunea spin-orbită ca o orientare a în câmpul magnetic produs de mişcarea orbitală ( ). Energia electronului în atom depinde nu doar de mişcarea în jurul nucleului, ci şi de spin.
Momentul cinetic total al atomului este . Acesta se cuantifică după regula cunoscută: , unde , deoarece .
De asemenea vom avea un moment magnetic total . Interacţiunea dintre aceste momente cinetice se manifestă sub forma unei precesii a cuplului spin-orbită ( ), dar şi a unei precesii a lui în jurul unei axe preferenţiale.
Componenta este cuantificată după regula , unde .
Se mai observă că, datorită anomaliei ce a apărut la proporţionalitatea dintre momentul cinetic şi cel magnetic de spin, direcţia lui nu corespunde direcţiei lui . Datorită precesiei, şi vectorii şi , deci şi vor efectua o precesie în jurul direcţiei lui . Aceasta ne permite să introducem un moment magnetic efectiv al atomului, obţinut prin mediere pe mai multe perioade a vectorului . Notăm acest moment magnetic efectiv cu . Acest moment magnetic efectiv poate fi calculat. Observăm că:
. Cosinusurile respective le vom obţine din teorema cosinusului aplicată în triunghiul respectiv al momentelor cinetice:
, respectiv . Vom folosi următoarele identităţi:
, . Acum putem scrie:
, sau, după simplificări şi aducerea la acelaşi numitor:
. Acum folosim faptul că şi pentru celelalte momente cinetice analog, deci vom avea expresia lui doar în funcţie de numerele cuantice respective:
.
Dacă în formula de mai sus notăm cu , vom avea . Vectorial, putem scrie:

Coeficientul g se numeşte factor Landé de proporţionalitate a momentului magnetic efectiv faţă de momentul cinetic total. Ţinând cont de expresia magnetonului Bohr, putem scrie şi o formulă alternativă a momentului magnetic efectiv: , expresie care seamănă ca formă cu cele ale sau .
Atomul, plasat într-un câmp magnetic suficient de mic astfel încât să nu strice cuplajul spin-orbită, va avea o energie suplimentară de interacţiune magnetică: , unde .

Explicaţia scindării fasciculului de atomi de Ag
Stern şi Gerlach au folosit atomi de Ag pentru faptul că au doar un singur electron pe ultimul strat, şi acesta este oarecum ecranat de celelalte straturi. Similaritatea cu atomul de Hidrogen este foarte mare. Atomii de Ag erau în stare fundamentală. Explicaţia o vom da prin analogie cu atomii de Hidrogen în stare fundamentală.
Atomul de hidrogen în stare fundamentală are numerele cuantice . În acest caz, factorul Landé are valoarea . Energia de interacţiune magnetică va avea următoarele valori posibile: .
În câmp magnetic variabil, energia potenţială de interacţiune magnetică este variabilă şi dă naştere unei forţe (este forţa care împarte fasciculul în două). Matematic, această forţă este dată de relaţia binecunoscută:

În formula de mai sus sunt versorii celor trei axe ( ).
Cum câmpul în experiment variază puternic doar pe direcţia z, pe celelalte două fiind constant, formula de mai sus se simplifică:

Dar şi . Iată că asupra atomilor acţionează forţe proporţionale cu gradientul câmpului magnetic, în două sensuri. O parte din atomi vor avea şi o parte vor avea , de aceea se împarte fasciculul de atomi în două.
Dacă lungimea sectorului cu câmp magnetic variabil este x şi distanţa pe care atomii se mişcă liber (distanţa de la electromagnet până la ecran) este D, atunci se arată uşor că devierea fasciculului are formula:

Iată cum am putut explica scindarea fasciculului de atomi de Ag cu ajutorul analogiei cu modelul atomului de Hidrogen. Experimentul Stern-Gerlach este de referinţă în evoluţia mecanicii cuantice, confirmând presupunerile fizicienilor cu privire la spinul electronic şi interacţiunea spin-orbită.